선형 근사

(a, f(a))에서의 접선

수학에서 선형 근사(線型近似, 영어: linear approximation)는 어떤 함수를 선형 함수, 즉 일차 함수로 근사하는 것을 말한다. 아이디어는 그림과 같이 어떤 점 근처를 확대하면 확대할수록 (미분 가능한) 함수의 그래프와 그 점에서의 접선은 비슷해진다는 사실로부터 온다.

정의

어떤 점 $x=a$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 있을 때, 그 점에서의 접선의 방정식은

$y=f(a)+f'(a)(x-a)$

이다. 이때 근사

$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$

를 $f$의 $a$에서의 선형 근사라고 한다. 이는 테일러 정리에 의하여 얻어진

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}$

에서 근사 $R_{2}\approx 0$를 취한 것으로 볼 수 있다. 여기서 $R_{2}=o(x-a)$는 $x$가 $a$로 갈 때의 $x-a$보다 고위인 무한소이다(점근 표기법). 즉,

$\lim _{x\to a}{\frac {o(x-a)}{x-a}}=0$

예

${\sqrt {4.01}}$을 함수 $f(x)={\sqrt {x}}$의 $x=4$에서의 선형 근사를 사용해서 근삿값을 구할 수 있다.

$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

이므로

$f(4.01)\approx f(4)+f'(4)\times 0.01=2+{\frac {1}{4}}\times 0.01=2.0025$

이다. 이는 실제값인 2.00249...를 소숫점 다섯째 자리에서 반올림 한 값이다. 즉, 참값에 상당히 근접함을 알 수 있다.

이는 사실상 $x$가 4에 매우 가까울 때의 선형 근사

${\sqrt {x}}\approx 2+{\frac {1}{4}}(x-4)$

를 이용한 것이다. 비슷한 예로 $x$가 0에 가까울 때의 여러 가지 선형 근사를 나열하면 다음과 같다.

• $\sin x\approx x$
• $\tan x\approx x$
• $e^{x}\approx 1+x$
• $\ln(1+x)\approx x$
• $\arcsin x\approx x$
• $\arctan x\approx x$
• $(1+x)^{p}\approx 1+px$

같이 보기

• 오일러 방법
• 유한 차분
• 뉴턴 방법
• 테일러 정리
• 거듭제곱 급수

참고 문헌

• James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7.